فرض کنید $({{x}_{{}^\circ }},f({{x}_{{}^\circ }}))$ نقطه‌ی مورنظر است. $6y=x-1\Rightarrow y=-\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}\Rightarrow m=\frac{-1}{6}$   $:{m}'=\frac{-1}{m}=\frac{-1}{-\frac{1}{6}}=6$ شیب خط مماس بر نمودار در $x={{x}_{{}^\circ }}$  شیب خط مماس بر نمودار تابع $f$ در نقطه‌ای به طول ${{x}_{{}^\circ }}$ برابر ${f}'({{x}_{{}^\circ }})$ است، پس: ${f}'({{x}_{{}^\circ }})=6\,\,\,\,\,(*)$  ${f}'({{x}_{{}^\circ }})=\underset{x\to {{x}_{{}^\circ }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{{{x}_{{}^\circ }}-1}}{x-{{x}_{{}^\circ }}}=\underset{x\to {{x}_{{}^\circ }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{{{x}_{{}^\circ }}-1}}{x-{{x}_{{}^\circ }}}\times \frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{{{x}_{{}^\circ }}-1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{{{x}_{{}^\circ }}-1}}=\underset{x\to {{x}_{{}^\circ }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1-({{x}_{{}^\circ }}-1)}{2(x-{{x}_{{}^\circ }})\sqrt{{{x}_{{}^\circ }}-1}}=\underset{x\to {{x}_{{}^\circ }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-{{x}_{{}^\circ }})}{2(x-{{x}_{{}^\circ }})\sqrt{{{x}_{{}^\circ }}-1}}$ $\Rightarrow {f}'({{x}_{{}^\circ }})=\frac{1}{2\sqrt{{{x}_{{}^\circ }}-1}}\xrightarrow{(*)}\frac{1}{2\sqrt{{{x}_{{}^\circ }}-1}}=6\Rightarrow {{x}_{{}^\circ }}-1=\frac{1}{144}\Rightarrow {{x}_{{}^\circ }}=\frac{145}{144}\,,\,f({{x}_{{}^\circ }})=\frac{1}{12}$  مجموع طول و عرض $:{{x}_{{}^\circ }}+f({{x}_{{}^\circ }})=\frac{145}{144}+\frac{12}{144}=\frac{157}{144}$