برای تابع $f(x)=\left| x-\frac{\left[ x \right]}{a} \right|$، مقدار ${{{f}'}_{-}}(۱)$ در صورت وجود کدام است؟ ($\left[ \, \right]$، علامت جز صحیح است.)
برای اینکه تابع $f(x)=\left| x-\frac{\left[ x \right]}{a} \right|$ در $x=1$ مشتق چپ داشته باشد، باید $f$ در $x=1$ از چپ پیوسته باشد، یعنی: $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)\Rightarrow \left| 1-0 \right|=\left| 1-\frac{1}{a} \right|\Rightarrow a=\frac{1}{2}$ $f(x)=\left| x-2\left[ x \right] \right|\Rightarrow {{{f}'}_{-}}(1)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-2\left[ x \right] \right|-1}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x \right|-1}{x-1}=1$