$a$ عددی فرد است. $2k+3$ نیز عددی فرد است که به هر توانی برسد باز هم عددی فرد خواهد بود. پس $b$ نیز عددی فرد است. به‌صورت زیر می‌توان ثابت کرد که مربع هر عدد فرد را می‌توان به‌صورت $8k+1$ نوشت: ${{(2k+1)}^{2}}=4{{k}^{2}}+4k+1=4({{k}^{2}}+k)+1=4(k)(k+1)+1=4\times 2\times {k}'+1=8{k}'+1$ دقت کنید که $(k)\times (k+1)$ ضرب دو عدد صحیح متوالی است که حتماً یکی از آن‌ها عامل 2 را دارد. بنابراین داریم: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+7=(8k+1)+(8{k}'+1)+7\overset{8}{\mathop{\equiv }}\,1+1+7\overset{8}{\mathop{\equiv }}\,1$