مجموع جملات ششم و هفتم برابر $31$ است، پس: ${{a}_{6}}+{{a}_{7}}=31\Rightarrow {{a}_{1}}+5d+{{a}_{1}}+6d=31\Rightarrow 2{{a}_{1}}+11d=31$ مجموع جملات دوم تا چهارم $15$ است، پس: ${{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}=15$ $\Rightarrow {{a}_{1}}+d+{{a}_{1}}+2d+{{a}_{1}}+3d=15\Rightarrow 3{{a}_{1}}+6d=15$ در معادلهٔ دوم، دو طرف را بر $3$ تقسیم می‌کنیم: $3{{a}_{1}}+6d=15\xrightarrow{\div 3}{{a}_{1}}+2d=5$ حالا دو معادلهٔ $2{{a}_{1}}+11d=31$ و ${{a}_{1}}+2d=5$ را در یک دستگاه حل می‌کنیم: $\begin{align}& \left\{ \begin{matrix}2{{a}_{1}}+11d=31  \\{{a}_{1}}+2d=5\,\,\,\,\,\,\,  \\\end{matrix} \right.\,\,\,\,\begin{matrix}\xrightarrow{{}}  \\\xrightarrow{\times (-2)}  \\\end{matrix}\,\,\underline{\left\{ \begin{matrix}2{{a}_{1}}+11d=31  \\-2{{a}_{1}}-4d=-10  \\\end{matrix} \right.\,}\,\,\oplus  \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7d=21\Rightarrow d=\frac{21}{7}=3 \\ \end{align}$ حالا $d=3$ را در معادلهٔ ${{a}_{1}}+2d=5$ قرار می دهیم تا ${{a}_{1}}$ به دست ‌آید: ${{a}_{1}}+2d=5\xrightarrow{d=3}{{a}_{1}}+\underbrace{2(3)}_{6}=5\Rightarrow {{a}_{1}}=-1$ با داشتن ${{a}_{1}}=-1$ و $d=3$، جملهٔ پنجم را به دست می‌آوریم: ${{a}_{5}}={{a}_{1}}+4d=-1+4(3)=-1+12=11$