اگر تابع $f=\left\{ (-۱,a-۱),(۰,{{a}^{۳}}-۱),(-۲,a) \right\}$ اکیداً نزولی باشد، حدود $a$ کدام است؟
1
$\left( -\infty ,۰ \right)\bigcup \left( ۱,+\infty \right)$
✓
✗
2
$\left( -\infty ,-۱ \right)\bigcup \left( ۱,+\infty \right)$
✓
✗
3
$\left( -\infty ,۰ \right)\bigcup \left( ۰,۱ \right)$
✓
✗
4
$\left( -\infty ,-۱ \right)\bigcup \left( ۰,۱ \right)$
✓
✗
خطا
میدانیم اگر ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in {{D}_{f}}$ و ${{x}_{1}}\lt {{x}_{2}}$ و تابع $f$ اکیداً نزولی باشد، باید $f({{x}_{1}})\gt f({{x}_{2}})$ باشد. بنابراین داریم: $-2\lt -1\lt 0\Rightarrow f(-2)\gt f(-1)\gt f(0)$ $\Rightarrow a\gt a-1\gt {{a}^{3}}-1\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a-1\lt a\Rightarrow -1\lt 0 \\ a-1\gt {{a}^{3}}-1\Rightarrow a-{{a}^{3}}\gt 0 \\ \end{matrix} \right.$ $a-{{a}^{3}}=0\Rightarrow a(1-{{a}^{2}})=0\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=0 \\ a=1 \\ a=-1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow a\in \left( -\infty ,-1 \right)\bigcup \left( 0,1 \right)$