تابع $f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{\sin }^{۲}}x\,\,\,\,\,\,\,x \gt ۰ \\ ۲x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=۰ \\ ۲x+۱\,\,\,\,\,\,x \lt ۰ \\ \end{matrix} \right.$ مفروض است. کدام گزاره درست است؟
تابع در $x=0$ از چپ ناپیوسته و در نتیجه مشتق چپ ندارد. چون از راست پیوسته است. مشتقپذیری را بررسی میکنیم: ${{{f}'}_{+}}(0)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x-0}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\sin x}{x})\sin x=1\times 0=0$ پس تابع در $x=0$ مشتق راست دارد، اما مشتق چپ ندارد.