صورت کسر، دنباله‌ی هندسی با قدر نسبت $x$ می‌باشد. $\frac{1+x+...+{{x}^{7}}}{1+{{x}^{2}}}=\frac{\frac{1(1-{{x}^{8}})}{1-x}}{1+{{x}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{8}}}{(1-x)(1+{{x}^{2}})}=\frac{(1-{{x}^{4}})(1+{{x}^{4}})}{(1-x)(1+{{x}^{2}})}$ $=\frac{(1-{{x}^{2}})(1+{{x}^{2}})(1+{{x}^{4}})}{(1-x)(1+{{x}^{2}})}=\frac{(1-x)(1+{{x}^{2}})(1-x)(1+x)(1+{{x}^{2}})}{(1-x)}\Rightarrow f(x)=(1+x)(1+{{x}^{4}})$  برای محاسبه‌ی مشتق در $x=-1$ کافی است از عامل صفر شونده مشتق بگیریم. ${f}'(-1)=1(1+{{(-1)}^{4}}=2$