مشتق تابع با ضابطهی $f(x)=\frac{\tan x-{{\tan }^{۳}}x}{۱+۲{{\tan }^{۲}}x+{{\tan }^{۴}}x}$، در نقطهای به طول $x=\frac{\pi }{۱۲}$ کدام است؟
$f(x)=\frac{\tan x(1-{{\tan }^{2}}x)}{{{(1+{{\tan }^{2}}x)}^{2}}}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{1}{4}(4\cos 4x)=\cos 4x=(\frac{1}{2}\sin 2x)(\cos 2x)=\frac{1}{4}\sin 4x\Rightarrow {f}'(\frac{\pi }{12})=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ نکته: $\cos 2x=\frac{1-{{\tan }^{2}}x}{1+{{\tan }^{2}}x}$ $\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+{{\tan }^{2}}x}$