$\cot x-\tan x=2\cot 2x=3\Rightarrow \cot 2x=\frac{3}{2}\Rightarrow \tan 2x=\frac{2}{3}$  $\begin{align}  & \frac{\tan x-{{\tan }^{3}}x}{{{(1+{{\tan }^{2}}x)}^{2}}}=\frac{\tan x}{1+{{\tan }^{2}}x}\times \frac{1-{{\tan }^{2}}x}{1+{{\tan }^{2}}x}=\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x\cos 2x \\  & =\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\sin 4x=\frac{1}{4}\sin 4x \\ \end{align}$  اگر $\tan 2x=\frac{2}{3}$ باشد، آن‌گاه: $\sin 4x=\frac{2\tan 2x}{1+{{\tan }^{2}}2x}=\frac{2(\frac{2}{3})}{1+{{(\frac{2}{3})}^{2}}}=\frac{\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{13}{9}}=\frac{12}{13}$  بنابراین مقدار$\frac{1}{4}\sin 4x$ برابر $\frac{1}{4}(\frac{12}{13})=\frac{3}{13}$ است.