به ازای چه مقداری از a، تابع دو ضابطهای $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} -{{x}^{۲}}+۱\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\ge -۱ \\ ax+a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\lt -۱ \\\end{matrix} \right.$ در $x=-۱$ مشتق پذیر است؟
مقدار حد چپ و راست تابع در $x=-1$ و $f\left( -1 \right)$ برابر صفر هستند. پس: تابع f در $x=-1$ پیوسته است. در صورت مشتق پذیر بودن تابع در $x=-1$، مشتق هر کدام از ضابطهها در $x=-1$ که مرز بین دو ضابطه است یکسان خواهد بود. یعنی اگر فرض کنیم $h\left( x \right)=-{{x}^{2}}+1$ و $g\left( x \right)=ax+a$، در این صورت باید ${g}'\left( -1 \right)={h}'\left( -1 \right)$. بنابراین داریم: $\begin{align} & h\left( x \right)=-{{x}^{2}}+1\Rightarrow {h}'\left( x \right)=-2x\Rightarrow {h}'\left( -1 \right)=-2\left( -1 \right)=2 \\ & g\left( x \right)=ax+a\Rightarrow {g}'\left( x \right)=a\Rightarrow {g}'\left( -1 \right)=a\Rightarrow a=2 \\ \end{align}$