در تابع با ضابطهی $f(x)=\left| x \right|.\left[ x \right]$، مقدار ${{{f}'}_{-}}(۰)-{{{f}'}_{+}}(۰)$ کدام است؟ ($\left[ \, \right]$، علامت جزء صحیح است.)
تابع در $x=0$ پیوسته است، پس: ${{{f}'}_{-}}(0)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x \right|\left[ x \right]-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(-x)(-1)}{x}=1$ ${{{f}'}_{+}}(0)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x \right|\left[ x \right]-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\times 0}{x}=0$ بنابراین: ${{{f}'}_{-}}(0)-{{{f}'}_{+}}(0)=1-0=1$