با فرض $x+\frac{1}{x}=t$ معادلۀ درجه دوم ${{t}^{2}}+3t-1=0$حاصل می‌شود. با حل این معادله خواهیم داشت: $t=\frac{-3\pm \sqrt{9+4}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}$ اگر x عددی حقیقی و غیر صفر باشد، آن‌گاه همواره $\left| x+\frac{1}{x} \right|\ge 2$، پس: $\Rightarrow \left\{ \begin{align}   & {{t}_{1}}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\to \left| {{t}_{1}} \right| \lt 2 \\  & {{t}_{1}}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}\lt-2 \\ \end{align} \right.$  $\Rightarrow x+\frac{1}{x}={{t}_{2}}\xrightarrow{\times x}{{x}^{2}}+1={{t}_{2}}x\Rightarrow {{x}^{2}}-{{t}_{2}}x+1=0$  معادلۀ بالا دارای دو ریشۀ منفی است زیرا: ${{t}_{2}} \lt -2\Rightarrow {{t}_{2}}^{2} \gt 4\Rightarrow {{t}_{2}}^{2}-4 \gt 0\Rightarrow \Delta \gt 0$  $S=\frac{-b}{a}={{t}_{2}} \lt 0$  مجموع ریشه‌ها $P=\frac{c}{a}=1 \gt0$ حاصل‌ضرب ریشه‌ها بنابراین معادلۀ اولیه، دارای دو ریشۀ حقیقی است.