نکته: اثبات با استفاده از تعاریف، مفاهیم، اصول اولیه و قضایای شناخته شده را اثبات به روش مستقیم می‌گوییم. گزینه‌های $1$، $2$ و $3$  در کتاب درسی به کمک برهان خلف اثبات شده‌اند؛ اما اثبات گزینۀ $4$ به روش مستقیم صورت می‌پذیرد: $\left\{ \begin{matrix}x=\frac{a}{b}\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,a,b\in Z,b\ne 0  \\y=\frac{c}{d}\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,c,d\in Z,d\ne 0  \\\end{matrix} \right.\,\,\,\Rightarrow x+y=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ چون $ad+bc,bd\in Z$ و $bd\ne 0$، پس $x+y$. عددی گویا است.