برای محاسبه‌ی حد در بی‌نهایت، عبارت‌های شامل بزرگ‌ترین توان $x$ را در صورت و مخرج کسر در نظر می‌گیریم: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+9}{1-x+\sqrt{x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax}{-x}=-a$  بنابراین با توجه به فرض سؤال، می‌توان گفت: $-a=3\Rightarrow a=-3$  حال باید حاصل حد زیر را بدست آوریم: $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3x+9}{1-x+\sqrt{x+1}}=\frac{0}{0}$  $\sqrt{x+1}=t\Rightarrow x+1={{t}^{2}}\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3x+9}{1-x+\sqrt{x+1}}$ $=\underset{t\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3({{t}^{2}}-1)+9}{1-({{t}^{2}}-1)+t}=\underset{t\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3{{t}^{2}}+12}{-{{t}^{2}}+t+2}$ $=\underset{t\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3(t-2)(t+2)}{(t-2)(t+1)}=\underset{t\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3(t+2)}{t+1}=4$