نکتهٔ 1: باقی‌ماندهٔ تقسیم چندجمله‌ای $f(x)$ بر $ax+b$ برابر است با: $f(\frac{-b}{a})$ نکتهٔ 2: برای هر $n\in \mathbb{N}$ داریم: ${{x}^{n}}-{{a}^{n}}=(x-a)({{x}^{n-1}}+{{x}^{n-2}}a+{{x}^{n-3}}{{a}^{2}}+...+{{a}^{n-1}})$ با توجه به نکتهٔ 2، عبارت داده شده را تجزیه می‌کنیم. ${{x}^{12}}-1={{({{x}^{2}})}^{6}}-{{1}^{6}}=({{x}^{2}}-1)({{x}^{10}}+{{x}^{8}}+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1)$ پس: $f(x)={{({{x}^{2}})}^{6}}-{{1}^{6}}=({{x}^{2}}-1)({{x}^{10}}+{{x}^{8}}+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1)$ مطابق نکتهٔ 1، باقی‌ماندهٔ تقسیم $f(x)$ بر $x+1$ همان $f(-1)$ است: $f(-1)=1+1+1+1+1+1=6$