تابع $f$ مشتق‌پذیر و پیوسته است. $x=2$ طول اکسترمم نسبی آن است، پس ${f}'(2)=0$. از طرفی ${f}'$ تابعی از درجهٔ سه است، چون $x=2$ تنها اکسترمم تابع است، پس تابع ${f}'$ فقط باید یک ریشهٔ $x=2$ داشته باشد. مشتق تابع را به‌دست می‌آوریم: ${f}'(x)=12{{x}^{3}}+3a{{x}^{2}}+2bx=x(12{{x}^{2}}+3ax+2b)$ به‌دلیل اینکه $x=0$ تابع مشتق را صفر می‌کند، برای اینکه طول نقطهٔ اکسترمم نباشد باید به‌صورت ریشهٔ مضاعف باشد (زیرا قبل و بعد از ریشه هم‌علامت می‌شود و شرط اکسترمم بودن را ندارد) پس عبارت داخل پرانتز به‌ازای $x=0$ باید صفر شود، یعنی $2b=0\Rightarrow b=0$ پس: ${f}'(x)=x(12{{x}^{2}}+3ax)=3{{x}^{2}}(4x+a)\xrightarrow{{f}'(2)=0}a=-8$ بنابراین $f(2)$ برابر است با: $f(2)=48+8a+10=48-64+10=-6$