ابتدا معادله را ساده می‌کنیم. $\frac{\cos 2x\left( 1+\sin 2x \right)}{\operatorname{cosx}+\operatorname{sinx}}=0\Rightarrow \frac{\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)\left( 1+\sin 2x \right)}{\operatorname{cosx}+\operatorname{sinx}}=0$  $\xrightarrow{\operatorname{cosx}\ne -\operatorname{sinx}}\left( \operatorname{cosx}- \operatorname{sinx} \right)\left( 1+\sin 2x \right)=0$  $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    \operatorname{cosx}-\operatorname{sinx}=0\Rightarrow \operatorname{sinx}=\operatorname{cosx}  \\    1+\sin 2x=0\Rightarrow \sin 2x=-1  \\ \end{matrix} \right.$   $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    \tan x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}  \\    \sin 2x=-1\Rightarrow 2x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{3\pi }{4}  \\ \end{matrix} \right.$ $x=\frac{3\pi }{4}$ ریشه‌ی مخرج است و به همین دلیل غیر قابل قبول است. پس معادله یک ریشه دارد.