$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 3x+\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 3x}{x}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{3\sin 3x}{3x})+1=3+1=4\,\,\,(*)$  $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\frac{{{x}^{2}}}{x-a}-\frac{{{x}^{2}}}{x+2})=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+(2-a)x-2a}$ $=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(a+2){{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=a+2\xrightarrow{(*)}a+2=4\Rightarrow a=2$