می‌دانی همواره $-1\le \sin x\le 1$ و با توجه به این‌که $x\to +\infty $ لذا $x \gt 0$ داریم: $-\frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$ چون $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{x})=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-\frac{1}{x})=0$ لذا $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=0$  $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+\sin x}{x+\sin x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x(2+\frac{\sin x}{x})}{x(1+\frac{\sin x}{x})}=\frac{2+0}{1+0}=2$