نقطۀ $A$ روی منحنی $y=\sqrt{x}$ قرار دارد. خطی كه نقطۀ $A$ را به نقطۀ $B(-۴,۰)$ وصل میكند با محور $x$ها زاويۀ $\theta $ میسازد. حداكثر مقدار $\tan \theta $ چقدر است؟
1
$\frac{\sqrt{۲}}{۲}$
✓
✗
2
$\frac{۱}{۲}$
✓
✗
3
$\frac{۱}{۴}$
✓
✗
4
$\frac{۱}{۸}$
✓
✗
خطا
نقطهٔ $A(x,\sqrt{x})$ را روی منحنی تابع در نظر میگیریم. از نقطهٔ $B$ به $A$ وصل میکنیم. میتوان نوشت: $\tan \theta =\frac{\sqrt{x}}{x+4}$ میخواهیم $\frac{\sqrt{x}}{x+4}$ بیشترین مقدار شود. حال برای یافتن ماکزیمم تابع $y=\frac{\sqrt{x}}{x+4}$ از آن مشتق میگیریم. ${y}'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+4)-\sqrt{x}}{{{(x+4)}^{2}}}=\frac{x+4-2x}{2\sqrt{x}{{(x+4)}^{2}}}=\frac{4-x}{2\sqrt{x}{{(x+4)}^{2}}}$ ${y}'=0\Rightarrow x=4\Rightarrow y(4)=\frac{\sqrt{4}}{4+4}=\frac{1}{4}$ تابع در $x=0$ مشتق ندارد $\Rightarrow y(0)=\frac{0}{4}=0$ بنابراین بیشترین مقدار $\tan \theta $ برابر $\frac{1}{4}$ است. دقت کنید که $x=-4$ در دامنهٔ تابع نیست.