چند عدد سه رقمی وجود دارد که مضرب ۱۱ باشند و باقیماندهٔ تقسیم آن بر دو عدد ۴ و ۵ برابر ۱ باشد؟
راهحل اول: میتوان نوشت $5\times 20a-55a-44a\overset{220}{\mathop{=}}\,5\times 0-55-44$ $a\overset{220}{\mathop{=}}\,-99\Rightarrow a=220k-99$ باید تعداد اعداد سه رقمی بهصورت $220k-99$ را بیابیم: $100\le 220k-99\le 999\Rightarrow 199\le 220k\le 1098$ $1\le k\le 4$ در نتیجه پاسخ برابر 4 است. راهحل دوم: فرض کنید $a=11q$، \[a\overset{5}{\mathop{=}}\,1\]، \[a\overset{4}{\mathop{=}}\,1\]، در اینصورت $\left\{ \begin{align} & 11q\overset{4}{\mathop{=}}\,1\xrightarrow{11\overset{4}{\mathop{=}}\,-1}-q\overset{4}{\mathop{=}}\,1\Rightarrow -5q\overset{20}{\mathop{=}}\,5 \\ & 11q\overset{5}{\mathop{=}}\,1\xrightarrow{11\overset{5}{\mathop{=}}\,1}q\overset{5}{\mathop{=}}\,1\Rightarrow 4q\overset{20}{\mathop{=}}\,4 \\ \end{align} \right.$ $q\overset{20}{\mathop{=}}\,-9\Rightarrow q=20k-9\Rightarrow a=11q=220k-99$ ادامهٔ راهحل همانند راهحل اول است.