اگر $A=\left[ \begin{matrix} ۱ & ۱ \\ ۳ & ۲ \\\end{matrix} \right]$ و ${{({{A}^{۲}})}^{-۱}}=aA-bI$ باشد، حاصل $ab$ کدام است؟
اول ${{A}^{2}}$ را پیدا میکنیم: ${{A}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \\\end{matrix} \right]$ حالا ${{({{A}^{2}})}^{-1}}$ را مییابیم: ${{({{A}^{2}})}^{-1}}=\frac{1}{28-27}\left[ \begin{matrix} 7 & -3 \\ -9 & 4 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 7 & -3 \\ -9 & 4 \\\end{matrix} \right]$ حالا باید ماتریس ${{({{A}^{2}})}^{-1}}$ را به شکل $aA-bI$ در آوریم: $\begin{align} & \left[ \begin{matrix} 7 & -3 \\ -9 & 4 \\\end{matrix} \right]=a\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \\\end{matrix} \right]-b\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \\ & \Rightarrow \left[ \begin{matrix} 7 & -3 \\ -9 & 4 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a-b & a \\ 3a & 2a-b \\\end{matrix} \right] \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=-3 \\ a-b=7\Rightarrow b=-10 \\\end{matrix} \right. \\ \end{align}$ بنابراین: $ab=(-3)(-10)=30$