طول ضلع مربعی یک متر است. ابتدا نیمی از مساحت مربع را رنگ میکنیم. سپس نیمی از مساحت باقیمانده را رنگ میکنیم و به همین ترتیب در هر مرحله نیمی از مساحت باقیمانده از مرحلهٔ قبل را رنگ میکنیم. پس از دست کم چند مرحله، حداقل ۹۹ درصد مساحت مربع رنگ شده است؟
نکته: مجموع n جملهٔ اول یک دنبالهٔ هندسی با جملهٔ اول a و قدرنسبت q برابر ${{S}_{n}}=a\frac{(a-{{q}^{n}}}{1-q}$ میباشد.\[\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}...\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=\frac{1}{2 جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی \\ q=\frac{1}{2} قدرنسبت دمبالهٔ هندسی \\\end{matrix} \right.\] = مساحت رنگ شده در مرحلهٔ دوم ، = مساحت رنگ شده در مرحلهٔ اولبنابراین مطابق فرض سؤال داریم:\[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+{{(\frac{1}{2})}^{n}}\ge 0/99\Rightarrow \frac{\frac{1}{2}(1-{{(\frac{1}{2})}^{n}})}{1-\frac{1}{2}}\ge 0/99\Rightarrow 1-{{(\frac{1}{2})}^{n}}\ge 0/99\Rightarrow {{(\frac{1}{2})}^{n}}\le 0/01\Rightarrow {{2}^{n}}\ge 100\Rightarrow n\ge 7\]