دایرهای به قطرِ قطر کوچک بیضی و به مرکز وسط قطر بزرگ بیضی از کانونهای بیضی میگذرد، خروج از مرکز بیضی کدام است؟
1
$\frac{۱}{۳}$
✓
✗
2
$\frac{۱}{۲}$
✓
✗
3
$\frac{\sqrt{۲}}{۲}$
✓
✗
4
$\frac{\sqrt{۳}}{۲}$
✓
✗
خطا
منظور سؤال این است که دایرهای به مرکز بیضی و شعاع $b$ رسم کردهایم. دایره از $F$ و ${F}'$ گذشته، بنابراین طول قطر کوچک بیضی با فاصلهٔ کانونی برابر است. $(b=c)$ به کمک فرمول ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}}$ رابطهٔ بین $a$ و $c$ را پیدا میکنیم: $\begin{align} & {{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}}\xrightarrow{b=c}{{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}=2{{c}^{2}} \\ & \Rightarrow \frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{align}$ بنابراین خروج از مرکز بیضی برابر با $\frac{\sqrt{2}}{2}$ است.