معادلهی دايرهای كه نقاط $A(۱,۳)$ و $B(-۵,۱)$ دو سر يک قطر آن هستند، كدام است؟
1
${{x}^{۲}}+{{y}^{۲}}+۴x-۴y+۲=۰$
✓
✗
2
${{x}^{۲}}+{{y}^{۲}}+۴x-۴y-۲=۰$
✓
✗
3
${{x}^{۲}}+{{y}^{۲}}-۴x+۴y+۲=۰$
✓
✗
4
${{x}^{۲}}+{{y}^{۲}}+۴x-۴y-۶=۰$
✓
✗
خطا
نكته: معادلهی دايرهای به مركز $O(\alpha ,\beta )$ و شعاع $R$ عبارت است از: ${{(x-\alpha )}^{2}}+{{(y-\beta )}^{2}}={{R}^{2}}$ چون نقاط $A(1,3)$ و $B(-5,1)$ دو سر قطر دايره هستند، پس نقطهی وسط $AB$ مركز دايره است، بنابراين داريم: مرکز دایره $O=\frac{A+B}{2}\Rightarrow O(\frac{-5+1}{2},\frac{1+3}{2})\Rightarrow O(-2,2)$ $\begin{matrix} R=OA=\sqrt{{{(-2-1)}^{2}}+{{(2-3)}^{2}}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} \\ {{(x+2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}={{(\sqrt{10})}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}+4x+4+{{y}^{2}}-4y+4=10\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4y-2=0 \\ \end{matrix}$