می‌دانیم که دامنه‌ی تابع کسری، برابر با {ریشه‌های مخرج} $\mathbb{R}-$ است. از طرفی دامنه‌ی تابع $g(x)$، چون ریشه‌ی مخرج برابر با 3 می‌باشد، برابر با $\mathbb{R}-\{3\}$ می‌باشد، پس ریشه‌ی مخرج تابع $f(x)$ هم باید فقط $x=3$ باشد. چون مخرج تابع $f$، یک عبارت درجه 2 است، به شرطی فقط یک ریشه‌ی $x=3$ دارد که مخرج مربع کامل باشد (ریشه ی مضاعف داشته باشد) می‌دانیم که یک عبارت درجه 2، اگر ریشه‌ی مضاعف ${{x}_{1}}$ داشته باشد، به فرم $y=a{{(x-{{x}_{1}})}^{2}}$ تجزیه می‌شود که $a$ همان ضریب ${{x}^{2}}$ است. در نتیجه مخرج تابع $f(x)$ باید به شکل زیر باشد: $3{{(x-3)}^{2}}=3({{x}^{2}}-6x+9)=3{{x}^{2}}-18x+27$ حال این مخرج باید برابر با $3{{x}^{2}}+ax+b$ باشد، در نتیجه $a=-18$ و $b=27$، بنابراین: $\Rightarrow a+b=-18+27=9$