آیا تابع $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{۲}}-x+۲\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\lt ۱ \\ ۲\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=۱ \\ \cos \left( x-۱ \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\gt ۱ \\\end{matrix} \right.$ در نقطه $x=۱$ پیوسته است؟
از شرط اول $\left( x\lt 1 \right)$ مقدار حد چپ را به دست میآوریم. $x\lt 1\to $ حد چپ $\to {{x}^{2}}-x+2\,\underline{\underline{x=1}}\,\,{{1}^{2}}-1+2=2$ از شرط دوم $\left( x=1 \right)$ مقدار تابع برابر 2 میشود. $f\left( 1 \right)=2\leftarrow $ از شرط سوم $\left( x\gt 1 \right)$ مقدار حد راست را به دست میآوریم. $x\gt 1\to $ حد راست $\to \cos \left( x-1 \right)+1\,\underline{\underline{x=1}}\,\cos \left( 1-1 \right)+1=\left( \cos 0 \right)+1=1+1=2$ چون مقادیر حد راست، حد چپ و مقدار تابع هر سه برابر عدد 2 شدند تابع $f\left( x \right)$ در نقطه $x=1$ پیوسته است.