اگر $k$ عددی صحیح باشد، باقیماندهٔ تقسیم ${{k}^{۲}}+۱$، بر ۵ کدام عدد نمیتواند باشد؟
عدد $k$ را باتوجه به باقیماندهٔ آن در تقسیم بر 5، به یکی از حالتهای زیر میتوان نوشت: $\left\{ \begin{matrix}k=5q\begin{matrix}{} \\\end{matrix}\begin{matrix}{} \\\end{matrix} \\k=5q+1 \\k=5q+2 \\k=5q+3 \\k=5q+4 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}{{k}^{2}}+1=5q'+1\begin{matrix}{} \\\end{matrix}\begin{matrix}{} & {} & {} \\\end{matrix} \\{{k}^{2}}+1=5q'+2\begin{matrix} {} \\\end{matrix}\begin{matrix}{} & {} & {} \\\end{matrix} \\{{k}^{2}}+1=5q'+5=5{{q}_{1}}\begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} \\{{k}^{2}}+1=5q'+10=5{{q}_{2}}\begin{matrix}{} & {} \\\end{matrix} \\{{k}^{2}}+1=5q'+17=5{{q}_{3}}+2 \\\end{matrix} \right.$ پس باقیماندهٔ ${{k}^{2}}+1$ بر 5، میتواند یکی از اعداد صفر، 1 و 2 باشد.