$a\gt 0\Rightarrow \left| a \right|=a,b\lt 0\Rightarrow \left| b \right|=-b$   $b\lt 0\lt a,\left| a \right|\lt \left| b \right|\Rightarrow a\lt -b$  $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a+b\lt 0  \\  a-b\gt 0  \\  \left| a \right|-\left| b \right|\lt 0  \\ \end{matrix} \right.$  $\Rightarrow \left| a+b \right|-\left| a-b \right|-\parallel \left. a \right|-\left| b\parallel  \right.$ $=-(a+b)-(a-b)-(\left| b \right|-\left| a \right|)$ $=-a-b-a+b-(-b-a)=-2a+b+a=b-a$