تابع $g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{۲۰}{c}}{\frac{۱}{x} + x}\\{۲x + ۳}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{۲۰}{c}}{x \le - ۱}\\{x \gt - ۱}\end{array}$ در چه نقاطی پیوسته نیست؟
پیوستگی تابع $g$ در تمام نقاط به جز $x = - 1$ واضح است. تنها در نقطهی $x = - 1$ پیوستگی را بررسی میکنیم: $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} (2x + 3) = - 2 + 3 = 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} (\frac{1}{x} + x) = - 1 - 1 = - 2}\end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} g(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} g(x)$ بنابراین تابع تنها در نقطهی $x = - 1$ پیوسته نیست.