فرض می‌کنیم: ${{f}^{-1}}(4)=a\Leftrightarrow f(a)=4$ بنابراین برای پیدا کردن ‌$a$ کافی است معادلهٔ زیر را حل کنیم. $f(a)=-a+\sqrt{-2a}=4\Rightarrow \sqrt{-2a}=4+a\,\,(\therefore )$ طرفین معادله را به توان دو می‌رسانیم: $\begin{align}  & -2a=16+8a+{{a}^{2}} \\  & \Rightarrow {{a}^{2}}+10a+16=0\Rightarrow (a+8)(a+2)=0 \\  & \Rightarrow a=-8\,\,ya\,\,a=-2 \\ \end{align}$  به ازای $a=-8$ دو طرف معادلهٔ $(\therefore )$ نابرابرند، پس $a=-2$