می‌دانیم مضارب $2\pi $ برای $sin$ و $cos$ حذف می‌شوند، پس: $\sin (\frac{5\pi }{2}+x)=\sin (\frac{\pi }{2}+x)$ بنابراین: $\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{4}-x)=1+\sin (\frac{\pi }{2}+x)$ سمت چپ را بسط می‌دهیم: $\sqrt{2}(\sin \frac{\pi }{4}\cos x-\cos \frac{\pi }{4}\sin x)=2+\sin (\frac{\pi }{2}+x)$ $\cos x-\sin x=1+\cos x\Rightarrow \sin x=-1\Rightarrow x=2k\pi -\frac{\pi }{2}$