دو تابع با ضابطههای $f(x)=۵x-a\left| x-۱ \right|$ و $g(x)=۲x+\left| {{x}^{۲}}-۱ \right|$ مفروضند. تابع $fog$ بهازای کدام مقدار $a$ در نقطهای به طول $۱$ مشتقپذیر است؟
تابع $fog$ عبارت است از: $f(g(x))=5(2x+\left| {{x}^{2}}-1 \right|)-a\left| 2x+ \right|{{x}^{2}}-1\left| -1 \right|$ در همسایگی نقطهی $x=1$ عبارت $2x+\left| {{x}^{2}}-1 \right|-1$ مثبت است، لذا: $2x+\left| {{x}^{2}}-1 \right|-1\left| =2x+ \right|{{x}^{2}}-1\left| -1 \right.$ پس: $fog=10x+5\left| {{x}^{2}}-1 \right|-a(2x-1+\left| {{x}^{2}}-1 \right|)$ برای مشتقپذیری این تابع در $x=1$ لازم و کافی است که $5\left| {{x}^{2}}-1 \right|-a\left| {{x}^{2}}-1 \right|$ یا $(5-a)\left| {{x}^{2}}-1 \right|$ مشتقپذیر باشد. بنابراین: $5-a=0\Rightarrow a=5$