مرکز و شعاع دایره‌ها عبارت‌اند از: $\begin{align}  & {{x}^{2}}-8x+{{y}^{2}}-2y+16=0 \\  & \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   O(4,1)  \\   R=\frac{1}{2}\sqrt{{{(-8)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}-4(16)}=1  \\\end{matrix} \right. \\  & {{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-2y-k=0 \\  & \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   {O}'(1,1)  \\   {R}'=\frac{1}{2}\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}-4(-k)}=\sqrt{2+k}  \\\end{matrix} \right. \\ \end{align}$ دو دایره در صورتی دارای سه مماس مشترک هستند که مماس خارج باشند. برای اینکه دو دایره مماس خارج باشند، باید $O{O}'=R+{R}'$ باشد. بنابراین: $\begin{align}  & O{O}'=\sqrt{{{(4-1)}^{2}}+{{(1-1)}^{2}}}=3\,\,,\,\,R+{R}'=1+\sqrt{2+k} \\  & do\,dayere\,momas\,kharejand\Rightarrow O{O}'=R+{R}' \\  & \Rightarrow 3=1+\sqrt{2+k}\Rightarrow \sqrt{2+k}=2\Rightarrow 2+k=4\Rightarrow k=2 \\ \end{align}$