در تابع $f(x)=\left\{ \begin{matrix}{{x}^{۲}};x\ge -۱ \\ ۲;x<-۱ \\\end{matrix} \right.$، اگر برای هر دو مقدار $a$ و $b$ در بازهٔ $\left( -۱,۰ \right)$ داشته باشیم: $a \lt b$، آن گاه کدام مورد همواره صحیح است؟
1
$f(a) \lt f(b)$
✓
✗
2
$f({{a}^{۲}}) \gt f({{b}^{۲}})$
✓
✗
3
$f(a)-f(b)\left| \lt \right|\left. a-b \right|$
✓
✗
4
$f(a)+f(b) \gt \left| a \right|+\left| b \right|$
✓
✗
خطا
نمودار تابع $f(x)$ مطابق شکل زیر است: (شکل اول)بنابراین تابع در بازهٔ $\left[ -1,0 \right]$ اکیداً نزولی و در بازهٔ $[0,\infty )$ اکیداً صعودی است. بنابراین داریم: (شکل دوم)لازم به ذکر است که رابطهٔ گزینه «۳» به ازای همه مقادیر $a$ و $b$ در بازهٔ $\left( -1,0 \right)$ برقرار نیست. همچنین با جایگذاری $f(b)={{\left| b \right|}^{2}}$، $f(a)={{\left| a \right|}^{2}}$ و استفاده از این نکته که ${{\left| a \right|}^{2}} \lt \left| a \right|$ میباشد، نادرستی رابطهٔ گزینه «۴» نیز به سادگی اثبات میشود.