در یک بیضی، از رأس کانونی، قطر کوچک به زاویهٔ ${{۶۰}^{\circ }}$ دیده میشود. طول قطر کوچک بیضی چند برابر فاصلهٔ کانونی است؟
1
$\sqrt{۳}$
✓
✗
2
$\sqrt{۲}$
✓
✗
3
$\frac{\sqrt{۲}}{۲}$
✓
✗
4
$\frac{\sqrt{۳}}{۳}$
✓
✗
خطا
از رأس $A$ قطر کوچک با زاویهٔ ${{60}^{\circ }}$ دیده میشود پس زاویهٔ $OAB$ برابر ${{30}^{\circ }}$ است و داریم: $\tan {{30}^{\circ }}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{b}{a}\Rightarrow a=\sqrt{3}b$ سوال از ما رابطهٔ بین فاصلهٔ کانونی $(2c)$ و طول قطر کوچک $(2b)$ را خواسته! یعنی $a$ عامل مزاحم است به کمک رابطهٔ ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}}$ داریم: $\begin{align} & \xrightarrow{a=\sqrt{3}b}3{{b}^{2}}-{{c}^{2}}={{b}^{2}} \\ & \Rightarrow {{c}^{2}}=2{{b}^{2}}\Rightarrow c=\sqrt{2}b \\ \end{align}$ یعنی $\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,ya\,\frac{c}{b}=\sqrt{2}$ است. بنابراین نسبت طول قطر کوچک بیضی به فاصلهٔ کانونی برابر میشود با: $\frac{2b}{2c}=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$