فرض کنید $48+1={{x}^{2}}$، در این صورت عددی فرد است، مثلا $x=2y+1$. در نتیجه $48p+1={{(2y+1)}^{2}}\Rightarrow 48p+1=4{{y}^{2}}+4y+1$ $48p=4{{y}^{2}}+4y\Rightarrow 12p={{y}^{2}}+y\Rightarrow 12p=y(y+1)$ پس $12p$ برابر حاصل ضرب دو عدد متوالی $y$ و $y+1$ شده است. بنابراین یکی از حالت‌های زیر رخ می‌دهد: $\left\{ \begin{matrix}   y=12  \\   y+1=p  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow p=13$ $\left\{ \begin{matrix}   y=p  \\   y+1=12  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow p=11$ و البته حالت‌هایی که $(y,y+1)$ برابر $(1,12p)$، $(2,6p)$، $(3,4p)$، $(4,3p)$، $(6,2p)$ یا $(2p,6)$ باشد مقدار قابل قبولی برای $p$ نمی‌دهند. در نتیحه به‌ازای دو عدد اول $p=13$ و $p=11$، عدد $48p+1$ مربع کامل است.