$A$ را داریم پس ${{A}^{-1}}$ را می‌توانیم حساب کنیم:  ${{A}^{-1}}=\frac{1}{-8-(-3)}\left| \begin{matrix}   -4 & 1  \\   -3 & 2  \\\end{matrix} \right|=-\frac{1}{5}\left| \begin{matrix}   -4 & 1  \\   -3 & 2  \\\end{matrix} \right|$ اکنون با توجه به رابطهٔ $\alpha A+\beta I={{A}^{-1}}$ می‌توانیم $\beta $ را پیدا کنیم: $\begin{align}  & \alpha \left[ \begin{matrix}   2 & -1  \\   3 & -4  \\\end{matrix} \right]+\beta \left[ \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\\end{matrix} \right]=-\frac{1}{5}\left[ \begin{matrix}   -4 & 1  \\   -3 & 2  \\\end{matrix} \right] \\  & \Rightarrow \left[ \begin{matrix}   2\alpha +\beta  & -\alpha   \\   3\alpha  & -4\alpha +\beta   \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   \frac{4}{5} & -\frac{1}{5}  \\   \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}  \\\end{matrix} \right] \\  & \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   -\alpha =-\frac{1}{5}\Rightarrow \alpha =\frac{1}{5}  \\   2\alpha +\beta =\frac{4}{5}\xrightarrow{\alpha =\frac{1}{5}}\beta =\frac{2}{5}  \\\end{matrix} \right. \\ \end{align}$