تابع $f$ هر یک از ضابطه‌ها، مشتق‌پذیر است، بنابراین برای این‌که $f$ روی $R$ مشتق‌پذیر باشد، باید در $x=1$ مشتق‌پذیر باشد، لذا: 1) باید در $x=1$ پیوسته باشد: $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(1+a\cos \pi x)=1-a$  $f(1)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(b{{x}^{2}}+x)=b+1\xrightarrow{Peyvastegi}1-a=b+1\Rightarrow a+b=0\,\,\,(*)$ 2) $:{{{f}'}_{-}}(1)={{{f}'}_{+}}(1)$  $f(x)=\left\{ \begin{matrix}    1+a\cos \pi x\,\,\,,\,\,\,x \gt 1  \\    b{{x}^{2}}+x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x\le 1  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow {f}'(x)=\left\{ \begin{matrix}    -a\pi \sin \pi x\,\,\,,\,\,\,x \gt 1  \\    2bx+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 1  \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    {{{{f}'}}_{+}}(1)=0  \\    {{{{f}'}}_{-}}(1)=2b+1  \\ \end{matrix}\Rightarrow  \right.2b+1=0\Rightarrow b=-\frac{1}{2}$  با قرار دادن $b=-\frac{1}{2}$ در رابطه‌ی $(*)$، $a$ را می‌یابیم: $a-\frac{1}{2}=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}$