بنا به فرض، باقی‌مانده‌ی تقسیم $P(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ بر ${{x}^{2}}-1=(x-1)(x 1)$  برابر $2x-1$ است، پس: $\left\{ \begin{matrix}    P(1)=2\times 1-1=1  \\    P(-1)=2\times (-1)-1=-3  \\ \end{matrix}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    a+b+c+d+e=1  \\    a-b+c-d+e=-3  \\ \end{matrix} \right. \right.$  از جمع دو تساوی به دست آمده داریم: $\Rightarrow 2a+2c+2e=-2\Rightarrow a+c+e=-1$