${{S}_{12}}=273{{S}_{4}}$  و ${{S}_{n}}={{a}_{1}}\times \frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}$  $\Rightarrow {{a}_{1}}\times \frac{1-{{q}^{12}}}{1-q}=273{{a}_{1}}\times \frac{1-{{q}^{4}}}{1-q}\xrightarrow[q\ne 1]{}1-{{q}^{12}}=273(1-{{q}^{4}})\Rightarrow (1-{{q}^{4}})(1+{{q}^{4}}+{{q}^{8}})=273(1-{{q}^{4}})$    ${{q}^{4}}=t\Rightarrow t+{{t}^{2}}=272\Rightarrow t(1+t)=272\to \left\{ \begin{matrix}   t=16  \\   t=-17  \\ \end{matrix} \right.$ $t=16\Rightarrow {{q}^{4}}=16\Rightarrow q=2\Rightarrow \frac{{{a}_{5}}}{{{a}_{2}}}={{q}^{3}}={{(2)}^{3}}=8$   چون جملات دنباله روند افزایشی دارند، پس $q \gt 0$ است.