نكته: اعداد در پيمانۀ ۴ به صورت $4k$ یا $4k+1$ یا $4k+2$ یا  $4k+3$ هستند كه مجموعۀ $Z$ را به ۴ زيرمجموعه افراز می‌كنند. از ميان ۴ افراز به پيمانۀ ۴، فقط اعداد به صورت $4k+2$ زوج هستند؛ ولی مضرب ۴ نيستند. بنابراين داريم:  $a=4k+2\Rightarrow {{a}^{2}}+1={{\left( 4k+2 \right)}^{2}}+1=16{{k}^{2}}+16k+4+1\Rightarrow $  ${{a}^{2}}+1=16{{k}^{2}}+16k+5=8\left( \underbrace{2{{k}^{2}}+2k}_{q} \right)+5=8q+5$ پس باقی‌ماندهٔ تقسيم عدد ${{a}^{2}}+1$ بر ۸ برابر ۵ است.