$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,=\frac{(a+3){{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+3}{b{{x}^{2}}-1}$  چون حاصل حد، عددی غیرصفر است، پس باید درجه‌ی صورت و مخرج برابر باشد. پس: $a+3=0\Rightarrow a=-3$  $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}+3}{b{{x}^{2}}-1}=4\Rightarrow \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}}{b{{x}^{2}}}=\frac{4}{b}=4\Rightarrow b=1\Rightarrow f(x)=\frac{4{{x}^{2}}+3}{{{x}^{2}}-1}$  معادله‌ی مجانب‌های قائم $=0\Rightarrow {{x}^{2}}-1=0\Rightarrow x=\pm 1$ مخرج محل برخورد مجانب‌ها دو نقطه‌ی $A(1,4)$ و $B(-1,4)$ است. پس: $\left| AB \right|=\sqrt{{{(1-(-1))}^{2}}+{{(4-4)}^{2}}}=2$