چون حد کسر در بی‌نهایت، یک عدد متناهی شده است، باید درجهٔ عبارت مخرج با صورت برابر باشد، پس $f(x)$ یک تابع درجهٔ دوم است، لذا داریم: $\begin{align}  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{(x+1)}^{2}}-5x}{a{{x}^{2}}+bx+c}=3\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+x+3}{a{{x}^{2}}+bx+c}=3 \\  & \Rightarrow \frac{3}{a}=3\Rightarrow a=1 \\ \end{align}$ بنابراین $f(x)={{x}^{2}}+bx+c$ است. همچنین تابع  از مبدأ مختصات می‌گذرد، پس: $\begin{align}  & (0,0)\in f\Rightarrow 0={{0}^{2}}+b(0)+c\Rightarrow c=0 \\  & \Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+bx\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+bx)=+\infty  \\ \end{align}$