در حالت اول جملۀ اول را ${{a}_{1}}$ و قدر نسبت را $d$ می‌گیریم. مجموع 10 جمله اول برابر است با: ${{S}_{n}}=\frac{n}{2}[2{{a}_{1}}+(n-1)d]\Rightarrow {{S}_{10}}=5[2{{a}_{1}}+9d]$  در حالت دوم جملۀ اول را ${{a}_{1}}+2$ و قدر نسبت را $d-k$ می‌گیریم. مجموع 10 جملۀ اول در این حالت برابر است با: ${S}'10=5[2({{a}_{1}}+2)+9(d-k)]=5[2{{a}_{1}}+9d+4-9k]$  برای آنکه ${{S}_{10}}={{{S}'}_{10}}$ باشد، باید داشته باشیم: $4-9k=0\Rightarrow k=\frac{4}{9}$