نکته: اگر $a$ عددی صحیح و $b$ عددی طبیعی باشد، اعداد صحیح و منحصربه‌فرد $q$ و $r$ یافت می‌شوند به‌طوری که:     $a=bq+r;0\le r\lt b$ با توجه به نکته داریم:  $\left\{ \begin{matrix} a=6k+3\xrightarrow{\times 7}7a=42k+21  \\ a=7{k}'+5\xrightarrow{\times 6}6a=42{k}'+30  \\ \end{matrix} \right.\to 7a-6a=42(k-{k}')-9$ $\Rightarrow a=21(2k-2{k}')-9+21-21\Rightarrow a=21(\underbrace{2k-2{k}'-1}_{q})+12\Rightarrow a=21q+12\Rightarrow r=12$ بنابراین باقی‌ماندهٔ تقسیم عدد $a$ بر 21، برابر 12 است.