$ MC =MA \Rightarrow S_{BAM} = \frac{1}{2}S_{ABC} \\ BN = NA \Rightarrow S_{MNB} = \frac{1}{2}S_{BAM} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}S_{ABC})=\frac{1}{4}S_{ABC} \\ BN=NA \Rightarrow S_{BNC} = \frac{1}{2}S_{ABC}  $ میانه مثلث یک دیگر را به نسبت 2 به یک قطع می کنند یعنی: $ PN=\frac{1}{2}PC $ در نتیجه: $ PN=\frac{1}{3}CN \\ S_{PBN}=\frac{1}{3}s_{BNC} =\frac{1}{3}(\frac{1}{2}S_{ABC})=\frac{1}{6}S_{ABC} \\ S_{PMN} = S_{MNB}-S_{PBN} = \frac{1}{4}S_{ABC}-\frac{1}{6}S_{ABC} = (\frac{1}{4}-\frac{1}{6})S_{ABC} = \frac{1}{12}S_{ABC} = \frac{S_{PMN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{12}  $