اگر $\frac{{{x}^{۳}}+۱}{{{x}^{۳}}+۳{{x}^{۲}}+۳x+۱}+\frac{A}{{{x}^{۲}}+۲x +۱}=۱$، $A$ کدام است؟
صورت و مخرج كسر اول را بهترتيب با استفاده از اتحادهای مجموع مكعبات و مكعب دوجملهای تجزيه میكنيم: $\frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1}=\frac{(x+1)({{x}^{2}}-x+1)}{{{(x+1)}^{3}}}=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{(x+1)}^{2}}}$ مخرج كسر دوم حاصل ${{(x+1)}^{2}}$ است، پس: $\frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{(x+1)}^{2}}}+\frac{A}{{{(x+1)}^{2}}}=1\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}-x+1+A}{{{(x+1)}^{2}}}=1$ برای آنكه تساوی بالا برقرار باشد، بايد صورت كسر ${{x}^{2}}+2x+1$ شود، پس كافی است $A=3x$