در مثلث $ABC$، $\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,=۲\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,$ و $b=۴$ و $c=۵$ است. طول ضلع $a$ کدام است؟
خطا
نیمساز $AD$ را رسم میکنیم، مطابق شکل چون $\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,=2\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,$ است، با رسم نیمساز، مثلث $ABD$ متساویالساقین است و $BD=AD$. با توجه به قضیهٔ نیمسازها داریم: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}BD=5x\Rightarrow AD=5x \\DC=4x\begin{matrix}{} & {} & {} & {} \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right.$ از طرفی طبق روابط طولی میتوان نوشت: $A{{D}^{2}}=AB.AC-BD.DC\Rightarrow {{(5x)}^{2}}=5\times 4-(5x)(4x)\Rightarrow 25{{x}^{2}}=20-20{{x}^{2}}\Rightarrow 45{{x}^{2}}=20\Rightarrow x=\frac{2}{3}\Rightarrow a=5x+4x=9x=6$