اگر $f(x+\frac{\pi }{۴})=\frac{\left[ x \right]-۱}{۱-\tan x}$، آنگاه $\underset{x\to {{\frac{\pi }{۲}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ کدام است؟ ($\left[ \,\, \right]$، نماد جزء صحیح است.)
$\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{\frac{\pi }{4}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x+\frac{\pi }{4})$ بنابراین: $\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{\frac{\pi }{4}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ x \right]-1}{1-\tan x}$ در سمت چپ $x=\frac{\pi }{4}$ داریم: $x\to {{\frac{\pi }{4}}^{-}}:\left\{ \begin{matrix} \left[ x \right]=\left[ {{\frac{\pi }{4}}^{-}} \right]=0 \\ \tan x\to {{1}^{-}} \\ \end{matrix} \right.$ بنابراین: $\underset{x\to {{\frac{\pi }{4}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\frac{0-1}{1-{{1}^{-}}}=\frac{-1}{{{0}^{+}}}=-\infty $